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狄利克雷对勒让德说:“我发现了一种在实数范围内,值域不连续的函数。”
狄利克雷写出这个狄利克雷函数,勒让德看到这个函数有两个项求极限,一个是πx前的阶乘k!求极限,一个是k!πx上的2j中的j求极限。K求极限是在余弦函数之外的。
勒让德说:“这个函数处处不连续,那是不是都画不出来?”
狄利克雷说:“没错这个函数图像画不出,但是客观存在,还是个偶函数,值域是从0到1。”
勒让德说:“我看这样的函数恐怕连周期都没有?”
狄利克雷说:“以任意正有理数为其周期,无最小正周期。”
勒让德说:“我终于知道了,这个函数处处不连续,所以处处不可求导,所以也处处不可以积分,与x所包的面积大小也是一个谜。”
狄利克雷说:“没错,以现有的微积分只是,没办法积分。”
勒让德说:“但是目测也可以得到大小。”
狄利克雷说:“那只是知道个大概,没办法对此精确计算的。”
后来一个叫勒贝格的人改变了原有的黎曼积分方式,从竖形积分变成横向积分,解决了这一问题。在单位区间[0,1]上勒贝格可积,且勒贝格积分值为0(且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上(区间不论开闭和是否有限)上的勒贝格积分值为0)
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